文章目录
前言
一、基带信号与频带信号
1. 定义
2. 频带信号的意义
二、解析信号
1. 定义
2. 线性时不变系统
3. 解析信号的构造
3.1 从传递函数开始
3.2 傅里叶变换的微分特性
4 希尔伯特变换
总结
前言
之前几篇介绍了确定信号的基本分析方法，包括频域分析、功率能量分析等。这篇将从信号的频谱特点把信号做一个基本的分类，并建立他们的一些联系。
一、基带信号与频带信号
1. 定义
简单来说基带信号就是频率集中在零频附近的信号，而频带信号则是频率集中在载频 f c f_c fc附近的信号。这里载频是指载波频率，暂时可以不用深究，只需要知道基带信号就频率集中在原点附近，而频带信号频率则是集中在原离原点的频域上。
一般来说基带信号满足最高频率 f m a x f_{max} fmax大于载频 2 f c 2f_c 2fc，频带信号则一般满足 f m a x < 2 f c f_{max}<2f_c fmax<2fc。
2. 频带信号的意义
一般常见的信号都是低频的，也就是基带信号。我们也会将基带信号搬移到频域上变成频带信号进行传输，原因包括像更高的频率也就意味着可以开拓更多的带宽；传输低频无线信号困难等（个人猜测可能的困难有：天线设计与信号半波长正相关，低频信号的波长太长，需要设计的天线太大）。
二、解析信号
1. 定义
我们知道实信号的幅度谱是偶对称的，那我们可以把负频率部分镜像对称再叠加到正频率上，打包一块分析不就行了。（因为实际工程中都是正频率，然而傅里叶变换的公式里是有负频率的，所以一般都将负频率部分利用偶对称性镜像到正频率来分析。）
基于这种考量，我们就由原信号 x ( t ) → X ( f ) x(t)\rightarrow X(f) x(t)→X(f)可以很容易的构造出一个新的信号 z ( t ) → Z ( f ) z(t)\rightarrow Z(f) z(t)→Z(f)去分析它，这个信号只有正频率部分，我们称之为解析信号。下面紧接着我们来介绍这个解析信号到底要怎么构造。
2. 线性时不变系统
学习过信号与系统的同学应该对线性时不变系统都不陌生，它是指如下图所示的一个系统，信号 x ( t ) x(t) x(t)经过冲激响应为 h ( t ) h(t) h(t)的系统，其输出信号是 x ( t ) x(t) x(t)与 h ( t ) h(t) h(t)的卷积
y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ y(t)=x(t)\ast h(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)d\tau y(t)=x(t)∗h(t)=∫x(τ)h(t−τ)dτ
现在我们来求一下输出信号的频谱 Y ( f ) Y(f) Y(f)，看看它与输入信号频谱 X ( f ) X(f) X(f)以及该系统的传递函数 H ( f ) H(f) H(f)有什么联系。对 y ( t ) y(t) y(t)做傅里叶变换有
Y ( f ) = ∫ y ( t ) e − j 2 π f t d t = ∫ ∫ x ( τ ) h ( t − τ ) e − j 2 π f t d τ d t Y(f)=\int y(t)e^{-j2\pi ft}dt=\int \int x(\tau)h(t-\tau)e^{-j2\pi ft}d\tau dt Y(f)=∫y(t)e−j2πftdt=∫∫x(τ)h(t−